迹公式

• 矩阵模平方(F范数):$\operatorname{tr}\left(A^{H} A\right)=\operatorname{tr}\left(A A^{H}\right)=\sum\left|a_{i, j}\right|^{2}$
• $\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right)=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right)=\sum a_{i, j} b_{i, j}$
• $\operatorname{tr}\left(A B^{H}\right)=\operatorname{tr}\left(B^{H} A\right)=\sum a_{i j} \overline{b_{i j}}$

内积公式

• $(X, Y)=Y^{H} X=\operatorname{tr}\left(X Y^{H}\right)=x_{1} \overline{y_{1}}+\cdots+x_{n} \overline{y_{n}}, \quad$ for $X, Y \in \mathrm{C}^{\mathrm{n}}$
• 模长：$(X, X)=\operatorname{tr}\left(X X^{H}\right)=X^{H} X=x_{1} \overline{x_{1}}+\cdots+x_{n} \overline{x_{n}}=\left|x_{1}\right|^{2}+\cdots+\left|x_{n}\right|^{2}=|X|^{2}$
• 复空间矩阵内积：
• $(A, B)=Y^{H} X=\operatorname{tr}\left(A B^{H}\right)=a_{1} \overline{b_{1}}+\cdots+a_{n} \overline{b_{n}}, \quad$ for $A, B \in \mathrm{C}^{\mathrm{m*n}}$
• 矩阵模长公式：$\|A\|^{2}=\operatorname{tr}\left(A A^{H}\right)=\operatorname{tr}\left(A^{H} A\right)=\sum\left|a_{i j}\right|^{2}$
• 向量垂直：$X \perp Y \Leftrightarrow(Y, X)=0 \Leftrightarrow(X, Y)=0$
  • 性质：1.满足勾股定理；2.可推广至n个向量互垂直

优阵_预优阵

• 预优阵：方阵的各列互垂直
  • 预半优阵：矩阵的各列互垂直
  • 引理：A为预优阵(预半优阵)$\Leftrightarrow$当且仅当$A^{H} A$为对角形
• 优阵：方阵的各列互垂直，且各列的模长为1
  • 半优阵：矩阵的各列互垂直，且各列的模长为1
  • 引理：A为优阵(半优阵)$\Leftrightarrow$当且仅当$A^{H} A = I$($A A^{H} = I$),则$A^{H} = A^{-1}$
  • **性质：A为优阵(半优阵)
    • 1. $|AX|^{2} = |X|^{2}$;保模长
    • 2. $x \perp y \Rightarrow A x \perp A y$;保正交
    • 3. $(A x, A y)=(x, y)$

许尔公式

• 补充公式：设n阶可逆阵P可以按列写成$\mathrm{P}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right)$，则$\mathrm{P}^{-1} \alpha_{1}=e_{1}, \mathrm{P}^{-1} \alpha_{2}=e_{2}, \cdots, \mathrm{P}^{-1} \alpha_{n}=e_{\mathrm{n}}$
• 二阶许尔公式的引理：
  • 
• 许尔公式：每个方阵A，存在可逆阵P使得$\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}=\mathbf{D}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & \ldots & * \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & \lambda_{n}\end{array}\right)$为上三角
• 优相似三角化(许尔公式2)：每个方阵A，存在优阵Q，使$\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{A Q}=\mathbf{D}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & \ldots & * \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & \lambda_{n}\end{array}\right)$为上三角
  • 推论：每个方阵都优相似与上三角阵

换位公式

• 设$\mathbf{A}=\mathbf{A}_{\mathrm{n} \times p}$，$\mathbf{B}=\mathbf{B}_{\mathrm{p} \times n}$，且$\mathrm{n} \geq \mathrm{p}$，则$\left|\lambda \mathbf{I}_{\mathrm{n}}-\mathbf{A B}\right|=\lambda^{n-p}\left|\lambda \mathbf{I}_{p}-\mathbf{B} \mathbf{A}\right|$
  • AB为n阶方阵，BA为p阶方阵，AB与BA的非0根相同，只相差n-p个0根
    • 且$\operatorname{tr}\left(A B\right)=\operatorname{tr}\left(B A\right)$
    • 行列式降阶公式：$\left|\mathbf{I}_{\mathrm{n}}+\mathbf{A B}\right|=\left|\mathbf{I}_{\mathrm{p}}+\mathbf{B} \mathbf{A}\right|$
  • 若n=p，则AB与BA的特征根相同

秩1阵

• 方阵的秩 rank(A)=1 ，则A叫做秩1阵(比例阵)
  • 特征根为$\lambda(\mathbf{A})=\{\operatorname{tr}(\mathbf{A}), 0, \cdots, 0\}$
  • 设$\lambda_1 = \operatorname{tr}(\mathbf{A})$,则$A\alpha = \lambda_1 \alpha$,且$A^2 = \lambda_1 A$
  • 若方阵满足$A^2 = \lambda_1 A$，则A中各列都是特征向量
  • 秩1阵必有分解：$\mathbf{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{n} \times 1} \boldsymbol{\beta}_{1 \times \mathrm{n}}$，且$A\alpha = \lambda_1 \alpha$，$\lambda_1 = \operatorname{tr}(\mathbf{A})$
    

遗传公式

• 根遗传公式
  • 满足平移公式、倍公式、幂公式、逆公式
• 向量遗传定理：A的特征向量为$X_1,X_2,...,X_n$也是f(A)的特征向量
  • 使用平移法求解矩阵的特征值和特征向量

补充定理：若$A = A_(n*p)$,$B = B_(p*n)$,且n>p,则$|A B | = 0$

秩公式

• 定理1： 任意复矩阵A,$A^HA$,$AA^H$为Hermite阵，且半正定
  • 证明：显然$A^H A$为Hermite阵，利用二次型$X^H (A^H A) X = (AX)^H AX = | AX |^2 \geq 0$,则$A^H A$为半正定的
• 定理2： 任意矩阵A，则$(A^H A)X = 0$与$AX=0$具有相同解
  • 证明：若$(A^HA)X = 0$成立，则$|AX|^2=(AX)^H AX=X^H (A^H A)X=0$,$\rightarrow |AX|=0 \rightarrow AX=0$
• 定理3：任意m*n矩阵,$r(A^HA)=r(A)$
  • 证明：由定理2可知，$(A^H A)X = 0$与$AX=0$同解，则$r(A^HA)=r(A)$
• 秩的第二定义：m*n阶矩阵A,r(A)=r的等价条件使A中必有一个r阶子式非0，所有r+1阶子式都为0
  • $r(A^HA) = r(A),r(A^HA)=r(A^H),r(A)=r(A^H)=\operatorname{r}(\bar{A})$

正规阵

• 若方阵A满足$A^HA=AA^H$,则A叫正规阵
  • 对角阵必正规
  • Hermite阵与斜Hermite阵必正规
    • 若A正规，则A与$A^H$必有相同特征向量，$AX=cX\leftrightarrow A^HX = \bar{c}X$
    • 若A的特根为$\lambda(A)=\{\lambda_1,...\lambda_n\}$，则$\lambda(A^H)=\{\bar{\lambda_1},...,\bar{\lambda_n}\}$
  • 实对称阵与实反对称阵都正规
  • 优阵必正规
  • 已知正规阵，可知正规阵的方法
    • 正规阵的倍数依然正规
    • 正规阵平移后依然正规
• 优相似定理：正规阵的优相似必正规
• 多项正规定理：正规阵A的多项式f(A)也正规
• 三角正规定理：三角正规阵一定是对角形（同时适用于分块矩阵）
  • 严格三角阵不是正规阵

正规分解定理

• 若方阵A正规，则存在优阵Q($Q^H=Q^{-1}$),使$\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{A Q}=\mathbf{D}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_{n}\end{array}\right)(对角形),其中\lambda(A) = \{\lambda_1,...\lambda_n\}，$由$\mathbf{Q}^{-1} \mathbf{A Q}=\mathbf{D}$可知，Q中的列都是特向量
  

  • 推论：正规阵A中恰有n个正交特向，不同特征根对应的特征向量正交（利用内积证明）
  • 正规阵一定优相似与对角形
  • 若A优相似与对角形，则A必正规

• 分解方法：

  1. 求特征根
  2. 求正交特征向量$X_1 \perp X_2 \perp ...X_n$
  3. 则$Q=\left(\frac{X_{1}}{\left|X_{1}\right|}, \cdots, \frac{X_{n}}{\left|X_{n}\right|}\right)$,$\mathbf{D}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_{n}\end{array}\right)$

结论：$A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right),\lambda(A) = \{-i,i\},X_1=(1,i)^T,X_2=(i,1)^T$为正规阵

QR分解

• QR公式：若A为列无关(高阵，列满秩，$r(A)=列数p$)，则$A=QR,Q=Q_{n*p}为列U阵(Q^HQ=I_p)，\mathbf{R}=\left(\begin{array}{ccc}r_{1} & \ldots & * \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & r_{n}\end{array}\right)为上三角，对角元为正数$，且有公式$R=Q^HA$
  • 若A为可逆方阵，则有$A=QR,Q=Q_{n*n}为优阵$
• 许米正交公式：
  • 设3向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则令$\beta_{1}=\alpha_{1},\beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{\left(\alpha_{2}, \alpha_{1}\right)}{\left|\alpha_{1}\right|^{2}} \alpha_{1},\beta_{3}=\alpha_{3}-\frac{\left(\alpha_{3}, \alpha_{1}\right)}{\left|\alpha_{1}\right|^{2}} \alpha_{1}-\frac{\left(\alpha_{3}, \beta_{2}\right)}{\left|\beta_{2}\right|^{2}} \beta_{2}$,则$\beta_1,\beta_2,\beta_3$互正交
• 分解方法
  1. 使用许米特公式求解优阵(或半优阵)Q
  2. 使用$R=Q^HA$求三角阵R
  3. 写出分解

满秩分解(高低分解)

• 设$A=A_{m*n}$的秩$r(A)=r>0$,则有分解$A=BC$,其中B为列满秩(高阵),C为行满秩(低阵)
• 分解方法：
  • 将A进行行变换化简为简化阶形式，$A \stackrel{\text { 行变换 }}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{cc}I_{r} & * \\ \cdots & \cdots \\ 0 & 0\end{array}\right), r=r(A)$，从A中去除前r列即为B，$C=(I_r,*)$
  • 秩1分解法：若$r(A)=1(各列成比例)$，则$A=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}b_{1} & \cdots & b_{n}\end{array}\right)=\alpha \beta$

乔利斯分解与平方根公式

• 乔利斯定理：若A>0(正定),则$A=R^HR$,其中$\mathbf{R}=\left(\begin{array}{ccc}b_{1} & \ldots & * \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & b_{n}\end{array}\right)$为上三角，且$b_1,...b_n>0$
  • $A=R^HR$为乔利斯分解
• 平方根分解：
  • 若A>0(正定),则有$A=B^2,B>0(正定)$,且$矩阵B唯一$,可写$B=\sqrt{A},A=(\sqrt{A})^2$
  • 若$A\geq0$半正定，则存在$B\geq0$半正定，使$A=B^2$,且$B^H=B,\lambda(B)=\{\sqrt{\lambda_1},...,\sqrt{\lambda_n}\}$全为非负根

补充知识

• 正定阵：设A是Hermite阵，若$f(x)-x^HAx>0$对一切非0向量成立，则A为正定阵($A>0$)
  • 等价条件
    • A为正定
    • A有分解$A=P^HP或A=PP^H$,P可逆
    • 特根$\lambda(A)=\{\lambda_1 >0,...,\lambda_n >0\}$(可用特商公式$\lambda_{1}=\frac{x^{H} A x}{|x|^{2}}$证明)
      
• 半正定阵：设A是Hermite阵，若$f(x)-x^HAx \geq0$对一切非0向量成立，则A为正定阵($A\geq 0$)
  • 等价条件
    • A为半正定
    • A有分解$A=P^HP或A=PP^H$
    • 特根$\lambda(A)=\{\lambda_1 \geq 0,...,\lambda_n \geq 0\}$都非负
• 定理
  • 设$A=A_{m*n}$,则$A^HA,AA^H$都半正定，特征根非负(利用二次型证明)
  • 若$A=A_{m*n}$为高阵，或方阵A可逆，则$A^HA$正定
  • Hermite阵的特征根都是实数

奇异值

• 正奇异值定义:给定 $A_{m*n}$,则 $A^HA与AA^H$ 有相同正根$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \lambda_r >0,r=r(A)$,$\sqrt{\lambda_1},...\sqrt{\lambda_r}$叫做A的正奇异值,全体正奇异值记作$s_+(A)=\{\sqrt{\lambda_1},...\sqrt{\lambda_r}\}$,其中$\sqrt{\lambda_1}$为A的最大奇异值
• 奇异值定义:给定 $A_{m*n}$,则 $A^HA与AA^H$ 有相同非负根$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \lambda_r \geq 0$,$\sqrt{\lambda_1},...\sqrt{\lambda_r}$叫做A的奇异值,全体奇异值记作$s(A)=\{\sqrt{\lambda_1},...\sqrt{\lambda_r}\}$

奇异值分解

• 正SVD分解(短SVD分解)：设$A=A_{m*n},r=r(A)>0$,正奇异值为$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_r$,则有分解$A=P\Delta Q^H$,其中$\Delta=\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{\lambda_{1}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \sqrt{\lambda_{r}}\end{array}\right)$,$P,Q为半优阵,P^HP=I,Q^HQ=I$
• 将P,Q扩大为U阵$W=(P_1,P_2),V=(Q_1,Q_2)$,可验证$W \mathrm{D} V^{H}=W\left(\begin{array}{ll}\Delta & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) V^{H}=P \Delta Q^{H}=A$
• 奇异分解(SVD)：设A有正奇异值$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_r >0$,则有$A=W \mathrm{D} V^{H}$,其中$D = \left(\begin{array}{ll}\Delta & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right),W=W_{m*m},V=V_{n*n}为两个优阵$
• 分解方法：
  1. 求$A^HA$的特征根,正奇值
  2. 求特征根对应的正交特向
  3. 令列优阵$Q=\left(\frac{X_{1}}{\left|X_{1}\right|}, \cdots, \frac{X_{r}}{\left|X_{r}\right|}\right) ; \quad$与$\quad P=\left(\frac{A X_{1}}{\left|A X_{1}\right|}, \cdots, \frac{A X_{r}}{\left|A X_{r}\right|}\right)$,正SVD分解$A=P \Delta Q^{H}$
  4. 可用观察扩充法求两个U阵,$W=(P,Y),V=(Q,X)$,可得SVD公式$A=W D V^{H}$,$D = \left(\begin{array}{ll}\Delta & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$
  • 备注：
    • 对于$V=(Q,X)$,可解$AX=0$得$X$
    • 对于$W=(P,Y)$,可解$A^HY=0$得$Y$
• 转置法：
  • $B^H=A=WDV^H \rightarrow B=VD^HW^H$

正规阵谱公式

正规分解复习

• 正规阵谱公式：若$A=A_{n*n}$,全体互异根为$\lambda_{1} ,...\lambda_{k}$,则有$A=\lambda_1G_1+...+\lambda_kG_k$，叫做A的谱分解
  1. $G_1+G_2+...G_K=I$
  2. $G_1G_2=0,...,G_iG_j=0$
  3. $G_1^2=G_1,...,G_k^2=G_k$(幂等),$G_1^H = G_1,...,G_k^H=G_k$
  4. $A^P=\lambda_1^PG_1+...+\lambda_k^PG_k$
  5. $f(A)=f(\lambda_1)G_1+...+f(\lambda_k)G_k$
  6. $G_{1}=\frac{\left(A-\lambda_{1} I\right) \cdots \cdots\left(A-\lambda_{k} I\right)}{\left(\lambda_{1}-\lambda_{1}\right) \cdots \cdots\left(\lambda_{1}-\lambda_{k}\right)}$,$G_{2}=\frac{\left(A-\lambda_{1} I\right)\left(A-\lambda_{2} I\right) \cdots \cdots\left(A-\lambda_{k} I\right)}{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{2}\right) \cdots \cdots\left(\lambda_{2}-\lambda_{k}\right)}$,$\cdots \cdots$,$G_{k}=\frac{\left(A-\lambda_{1}\right) \cdots \cdots\left(A-\lambda_{k}\right)}{\left(\lambda_{k}-\lambda_{1}\right) \cdots \cdots\left(\lambda_{k}-\lambda_{k}\right)}$
     • 若A正规,只有两个不同根,公式$G_{1}=\frac{\left(A-\lambda_{2}\right)}{\lambda_1-\lambda_2}$,$G_{2}=\frac{\left(A-\lambda_{1}\right)}{\lambda_2-\lambda_1}$，$G_1+G_2=I$
     • 若A正规,有三个不同根,公式$G_{1}=\frac{(A-\lambda_{2})(A-\lambda_{3})}{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_1-\lambda_3)}$,$G_{1}=\frac{(A-\lambda_{1})(A-\lambda_{3})}{(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_2-\lambda_3)}$,$G_{3}=\frac{(A-\lambda_{1})(A-\lambda_{2})}{(\lambda_3-\lambda_1)(\lambda_3-\lambda_2)}$
  7. $AG_1=\lambda_1G_1,...AG_k=\lambda_kG_k$,$G_1,G_2,...,G_k$中各列都是A的特征向量
• 分块法求$A^k=(\begin{array}{ll}A_1 & 0 \\ 0 & A_2\end{array})^k=(\begin{array}{ll}A_1^k & 0 \\ 0 & A_2^k\end{array})$

单阵

• 单阵(单纯阵,可对角阵)定义: 若$A=A_{n*n}$相似于对角形，即$Q^{-1}DQ=D=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_{n}\end{array}\right)$,称A为单纯阵
  • 正规阵一定是单纯阵
  • 充分条件：设n阶方阵A恰有n个不同根，则A为单阵
  • 单阵的谱公式：若A为单阵，全体不同根为$\lambda_1,...,\lambda_k$,则有$A=\lambda_1G_1+...+\lambda_kG_k$
    • 单阵的谱阵$G_1,...G_k$是幂等阵，但是不一定为Hermite阵(正规阵谱分解)
• 单阵判定法：设$\lambda_1,...,\lambda_k$为A的全体不同根
  • 若$(A-\lambda_1I)...(A-\lambda_k)I=0$则A为单阵(相似于对角形)
  • 若$(A-\lambda_1I)...(A-\lambda_k)I \not ={0}$则A为单阵(相似于对角形)

*极小式(0化式)

• 若$\lambda_1,...,\lambda_k$为不同根,且$(A-\lambda_1I)...(A-\lambda_k)I=0$,则A必是单阵,此时**$m(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_k)$为A的极小式**
• 0化式：若多项式f(x)符合f(A)=0,称f(x)为A的0化式
• 极小式：若多项式m(x)符合m(A)=0且m(x)具有最小次数,称m(x)为A的极小式
  • 特征多项式一定是0化式
  • 极小式鄙视特征式的因式
  • 极小式必为每个0化式f(x)的因子
• 极小式m(x)的求法：
  • 设$|xI-A|=(x-a)^2(x-b)$验$(A-aI)(A-bI)=0是否成立$，若成立则$m(x)=(x-a)(x-b)$，否则为$m(x)=(x-a)^2(x-b)^2$
  • |xI-A|=(x-a)(x-b)(x-c),则极小式为$m(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$
    

补充验单法

• 已知n阶方阵A
  • 若每个k>1重根$\lambda_1$使得$rank(A-\lambda_1) = n-k$,则A为单阵
  • 若有k>1重根$\lambda_1$使得$rank(A-\lambda_1) \not ={n-k}$,则A非单阵

补充引理

• 若$(A-\lambda_1I)P=0$,则P中非0列都是$\lambda_1$的特向

镜面阵

3个矩阵函数

• 常见解析函数f(x)与矩阵函数A,其中A为方阵
  • $e^{x}=1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{1}{k !} x^{k}+\cdots \cdots$,则$e^{A}=1+A+\frac{1}{2 !} A^{2}+\cdots+\frac{1}{k !} A^{k}+\cdots \cdots$
    • 记$e^{\mathbf{A}}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \mathbf{A}^{k}$
  • $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\cdots \cdots$,则$\sin A=A-\frac{A^{3}}{3 !}+\frac{A^{5}}{5 !}-\frac{A^{7}}{7 !}+\cdots \cdots$
    • 记$\sin \mathbf{A}=\sum_{\mathrm{k}=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{\mathbf{A}^{2 k+1}}{(2 k+1) !}$
  • $\cos x=x-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\cdots \cdots$,则$\cos A=A-\frac{A^{2}}{2 !}+\frac{A^{4}}{4 !}-\frac{A^{6}}{6 !}+\cdots \cdots$
    • 记$\cos \mathbf{A}=\sum_{\mathrm{k}=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{\mathbf{A}^{2 k}}{(2 k) !}$
• 为了方便应用引入参数t
  • $e^{tA}=1+tA+\frac{1}{2 !} tA^{2}+\cdots+\frac{1}{k !} tA^{k}+\cdots \cdots$
  • $\sin tA=tA-\frac{tA^{3}}{3 !}+\frac{tA^{5}}{5 !}-\frac{tA^{7}}{7 !}+\cdots \cdots$
  • $\cos tA=tA-\frac{tA^{2}}{2 !}+\frac{tA^{4}}{4 !}-\frac{tA^{6}}{6 !}+\cdots \cdots$
• 性质：
  • $e^0=I,sin0=0,cos0=0$
  • $cos(-A)=A,sin(-A)=-sin(A)$
  • $e^{iA}=cosA+isinA$,$\cos A=\frac{1}{2}\left(e^{i A}+e^{-i A}\right)$,$\sin A=\frac{1}{2 i}\left(e^{i A}-e^{-i A}\right)$,$e^{itA}=costA+isintA$
  • 交换公式，若$AB=BA$,则$e^Ae^B=e^{A+B}=e^Be^A$
  • 特别公式:$e^Ae^{-A}=e^{-A}e^A=I$
  • 可逆公式:$(e^A)^{-1}=e^{-A}$
  • 推论：令n方阵$A=(a_{i,j})$,则$f(A)=e^A$的行列式为$det(e^A)=|e^A|=e^{tr(A)}$
• 对幂等阵,若$A^2=A$,则$e^{tA}=I+(e^t-1)A$

幂零阵

• $A^k=0$,A称为幂零阵
• 幂零阵公式1：若$A^k=0$,f(x)为任一解析式,则$f(A)=f(0) I+f^{\prime}(0) A+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} A^{2}+\cdots+\frac{f^{k-1}(0)}{(k-1) !} A^{k-1}$
• 幂零阵公式0：若$(A-aI)^k=0$,f(x)为任一解析式,则$f(A)=f(a) I+f^{\prime}(a) (A-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2 !} (A-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{k-1}(a)}{(k-1) !} (A-a)^{k-1}$
• 备注1:若$A^k=0$为幂零阵,则A的全体根$\lambda(A)={0,0,...,0}$
• 备注2:若$(A-aI)^k=0$为幂零阵,则A的全体根$\lambda(A)={a,a,...,a}$

Jordan块

• n阶上三角$A=\left(\begin{array}{lllll}a & 1 & & & 0 \\ & a & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & a\end{array}\right)_{n, n}$叫n阶Jordan块
• 可知$\lambda=a$为n重根
• 若a=0,可得n阶0根Jordan块,$A=\left(\begin{array}{lllll}0& 1 & & & 0 \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & 0\end{array}\right)_{n, n}=(0,e_1,e_2,...,e_{n-1}$,$e_{j}$为单位阵I的各列
  • $D^{n+1}=0$
• 定理:n阶Jordan块$A=\left(\begin{array}{lllll}a & 1 & & & 0 \\ & a & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & a\end{array}\right)_{n, n}$对任一解析式f(x)有公式:$f(A)=\left(\begin{array}{ccccc}f(a) & f^{\prime}(a) & \frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}(a) & \cdots & \frac{1}{(n-1) !} f^{(n-1)}(a) \\ & f(a) & f^{\prime}(a) & \cdots & \vdots \\ & & \ddots & \ddots & \frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}(a) \\ & & & f(a) & f^{\prime}(a) \\ & & & & f(a)\end{array}\right)$

广谱公式:非单阵的f(A)公式

• 若A满足$(A-aI)^2(A-bI)=0,a \geq b$,即A有0化式$(x-a)^2(x-b)$,则有广谱公式$f(A)=f(a)G_1+f(b)G_2+f^{'}(a)D_1,G_1+G_2=I$,其中$G_1,G_2,D_1为固定矩阵(广谱阵)$
  
  

张量积

• 定义:设$A=(a_{i,j})_{m*n},B=(b_{i,j})_{p*q}$,称下面的分块矩阵为A与B的直积(张量积),$\left(\begin{array}{llll}a_{11} B & a_{12} B \cdots \cdots & a_{1 n} B \\ a_{21} B & a_{22} B \cdots \cdots & a_{2 n} B \\ \cdots \cdots \cdots \cdots & & \\ a_{m 1} B & a_{m 2} B \cdots \cdots & a_{m n} B\end{array}\right)_{m p \times n q}$,记作$A \otimes B=\left(a_{i j} B\right)_{m p \times n q}$
• 定理1：
  • 两个上三角阵的直积意识上三角阵
  • 两个对角阵的直积仍是对角阵
  • $I_n \otimes I_m = I_m \otimes I_n = I_{m*n}$
• 推论1:设$A=(\alpha_1,...,\alpha_t)_{n*t},b=(\beta_1,...,\beta_t)_{p*q}(按列分块)$,则$A \otimes B=(\alpha_1\otimes\beta_1,...,\alpha_t\otimes\beta_p)_{np*tq}$,记为$A\otimes B = (全列\alpha_i\otimes\beta_j)--按字典次序$
• 性质:
  • 直积满足分配律,结合律,倍数关系
  • 吸收律:$(A\otimes B)(C \otimes D)=(AC)\otimes(BD)$
  • 转置公式:$(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T,(A \otimes B)^H=A^H \otimes B^H$
  • $(A \otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}$
  • 秩公式:$rank(A \otimes B) = (rankA)(rankB)$
  • 设A为m阶方阵,B为n阶方阵,则$tr(A \otimes B) =trA*trB,det(A \otimes B)=(detA)^n(detB)^m$
• 推论2:若A为m阶方阵,B为n阶方阵,则
  • $(A\otimes B)^k=A^k \otimes B^k$
  • $(A \otimes I_n)(I_m \otimes B)=(I_m \otimes B)(A \otimes I_n) = A \otimes B$
• 推论3:若A,B为优阵,则$A \otimes B$为优阵
• 推论4:设$X_1,...,X_p$式p个线性无关的列向量,$Y_1,...,Y_q$式q个线性无关的列向量,则全体pq个向量$X_i \otimes Y_j$线性无关

张量积与特征值

• 定理1:设m阶方阵A的特征根为$\lambda_1,...\lambda_m$,n阶方阵B的特征根为$t_1,...,t_n$,则$A \otimes B$的全体特征根恰为mn个$\lambda_k t_j$
• 定理2:设m阶方阵A的特征根为$\lambda_1,...\lambda_m$,n阶方阵B的特征根为$t_1,...,t_n$
  • $A \otimes I_n + I_m \otimes B$的全体特征根恰为mn个$\lambda_k +t_j$
  • $A \otimes I_n - I_m \otimes B$的全体特征根恰为mn个$\lambda_k -t_j$

**矩阵的拉直

• 按行拉直为一个列向量,$\vec{A}=\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}, a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2 n}, \cdots, a_{m 1}, a_{m 2}, \cdots, a_{m n}\right)^{T}$
• 性质:
  • 线性公式$\vec{A+b}=\vec{A}+\vec{B}$,$\vec{kA}=k\vec{A}$
  • 拉直公式:$\vec{ABC} = (A \otimes C^T)\vec{B}$
• 推论:
  • $\vec{AX} = (A \otimes I_n)\vec{X}$
  • $\vec{XB} = (I_m \otimes B^T)\vec{X}$
  • $\vec{AX+XB} = (A \otimes I_n + I_m \otimes B^T)\vec{X}$

方程求解

• $AX+XB=C$:,利用拉直公式$\vec{AX+XB} = (A \otimes I_n + I_m \otimes B^T)\vec{X}$将方程拉直为$(A \otimes I_n + I_m \otimes B^T)\vec{X} = \vec{C}$

广义逆

• $A^+$定义:若m*n矩阵A与n*m矩阵适合四个条件,则X叫A的加号逆(伪逆,广义逆),即为$X=A^+$

  1. AXA=A
  2. XAX=X
  3. $(AX)^H=AX$
  4. $(XA)^H=XA$

• $A^+$唯一定理:矩阵A存在$A^+$且唯一

• 性质

  • $AA^+A=A$
  • $A^+AA^+=A^+$
  • $(AA^+)^H=AA^+$
  • $(A^+A)^H=A^+A$
  • 幂等公式:$(AA^+)^2=AA^+,(A^+A)^2=A^+A$

• 例题

  • 若A为优阵,则$A^+=A^H=A^{-1}$(假设$A^+=A^H$,验证四个条件)
  • 若A为半优阵,则$A^+=A^H$(假设$A^+=A^H$,验证四个条件)
    
    

• 引理1(半优公式):

  • 若A为列优阵$A^HA=I$,则$A^+=A^H$
  • 若$A^H$为列优阵$AA^H=I$(A为行优阵),则$A^+=A^H$

• $A^+$第一公式:若$A=A_{m*n}$有正SVD,$A=P\Delta Q^H,(P,Q为半优阵)$，则有公式$A^+=Q\Delta^{-1}P^H,\Delta^+=\Delta^{-1}$

• $A^+$秩1公式:若$r(A)=1,各列成比例$,则$A^{+}=\frac{1}{\sum\left|a_{i j}\right|^{2}} A^{H}=\frac{1}{tr(A^HA)} A^H$

• 分块公式:$A=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2}\end{array}\right)_{\operatorname{m} \times n}$,则$A^+=\left(\begin{array}{cc}A_{1}^+ & 0 \\ 0 & A_{2}^+\end{array}\right)_{\operatorname{m} \times n}$

• 特注:

  • 一般情况下$A^+A \not ={I},AA^+ \not ={I},A^+A \not ={AA^+}$
  • 一般情况下$(AB)^+ \not ={A^+B^+}$
  • 一般情况下$(AB)^+ \not ={B^+A^+}$,只有满秩分解时成立

• 引理2(优分解公式):设P,Q为优阵,则$(PDQ)^+=Q^HD^+P^H=Q^+D^+P^+$

• 引理3:设D为对角形,则$D^+D=DD^+$

• 定理:若A正规,则$A^+A=AA^+$,且$(A^+)^k=(A^k)^+$

• QR公式:设A为高阵,且有QR分解,A=QR,Q为列优阵,则$A^+=R^{-1}Q^H$

• $A^+$的谱分解公式:$A^{+}=\lambda_{1}^{+} G_{1}+\cdots+\lambda_{k}^{+} G_{k}$,$A^+$非正规时不一定成立,A为单阵且可逆时一定成立

  • 推论:若A正规,则$A^+A=AA^+,(A^+)^p=(A^p)^+$
  • 推论:若A正规,则$A^+正规,且(A^+)^p=(A^p)^+$

• 补充$A^+$公式:

  • $A^+=(A^HA)^+A^H$
  • $A^+=A^H(AA^H)^+$